CF1043F Make It One

题目

原题链接

题目大意 : Shirley有一个数列 $\{a_i\}_{i=1}^n$ , 她可以选出这些数中的任意多个(不必连续——原文为“subset子集”), 然后得到等于这些数最大公因数的分数. 现在, 她想要在得到 1 分的前提下, 使选择的数尽可能少, 那么, 她应该选择多少个数呢? 如果任意选择都不能得到 1 分, 请输出 -1.

思路

我们可以对每个数进行质因数分解, 只要保证我们选出的数它们的质因子集合互补相同, 就可以了. 根据这个, 我们可以考虑上界, 由于 3e5 内的数最多有 6 个不同的质因子, 所以最多选 7 个数就可以了. 然后我们可以特判一些特殊情况, 如果整个数组的 $gcd$ 不为 1, 那答案就是 -1; 如果数组中存在 1, 那答案就是 1.

排除掉特殊情况之后, 我们就可以开始考虑怎么做了. 注意到可选的范围较小, 我们可以枚举集合的大小, 而且答案具有单调性, 还可以用二分优化.

假设我们现在枚举的集合大小为 $k$, 我们现在要考虑的问题就是存不存在一种方案, 使得我们挑选的集合的 $gcd$ 为 1. 枚举所有方案显然是不行的, 那么我们其实可以换个思路, 枚举不同的 $gcd$ 的方案个数, 那么最后我们只需要判断 $gcd$ 为 1 时的方案个数是不是 0 就可以了.

我们可以记 $f(n)$ 为集合的 $gcd = n$ 的方案数, 这个是不好算的. 但是我们发现集合的 $gcd$ 为 $n$ 的倍数是好求的. 如果记 $cnt_i$ 为 $i$ 的倍数的个数, $g(n)$ 为集合的 $gcd$ 为 $n$ 的倍数的方案数, 那么 $g(n)=C_{cnt_i}^k$. 我们可以发现, $g(n)=\sum_{n|d}f(d)$, 那么我们就可以用莫比乌斯反演把 $f$ 表示出来, 即 $f(n)=\sum_{n|d}\mu({d\over n})g(d)$. 我们要求的是 $f(1)$, 所以

$f(1)=\sum_{d=1}^{max\{a_i\}}\mu(d)g(d)=\sum_{d=1}^{max\{a_i\}}\mu(d)C_{cnt_d}^k$

然后就可以判断了. 注意的是, $f(1)$ 可能很大, 但是我们不关心它的大小, 所以在计算过程中我们可以取模, 防止溢出.

代码

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

template<class T>
constexpr T power(T a, i64 b) {
    T res = 1;
    for (; b; b /= 2, a *= a) {
        if (b % 2) {
            res *= a;
        }
    }
    return res;
}

constexpr i64 mul(i64 a, i64 b, i64 p) {
    i64 res = a * b - i64(1.L * a * b / p) * p;
    res %= p;
    if (res < 0) {
        res += p;
    }
    return res;
}
template<i64 P>
struct MLong {
    i64 x;
    constexpr MLong() : x{} {}
    constexpr MLong(i64 x) : x{norm(x % getMod())} {}
    
    static i64 Mod;
    constexpr static i64 getMod() {
        if (P > 0) {
            return P;
        } else {
            return Mod;
        }
    }
    constexpr static void setMod(i64 Mod_) {
        Mod = Mod_;
    }
    constexpr i64 norm(i64 x) const {
        if (x < 0) {
            x += getMod();
        }
        if (x >= getMod()) {
            x -= getMod();
        }
        return x;
    }
    constexpr i64 val() const {
        return x;
    }
    explicit constexpr operator i64() const {
        return x;
    }
    constexpr MLong operator-() const {
        MLong res;
        res.x = norm(getMod() - x);
        return res;
    }
    constexpr MLong inv() const {
        assert(x != 0);
        return power(*this, getMod() - 2);
    }
    constexpr MLong &operator*=(MLong rhs) & {
        x = mul(x, rhs.x, getMod());
        return *this;
    }
    constexpr MLong &operator+=(MLong rhs) & {
        x = norm(x + rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MLong &operator-=(MLong rhs) & {
        x = norm(x - rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MLong &operator/=(MLong rhs) & {
        return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MLong operator*(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res *= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MLong operator+(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res += rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MLong operator-(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res -= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MLong operator/(MLong lhs, MLong rhs) {
        MLong res = lhs;
        res /= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr std::istream &operator>>(std::istream &is, MLong &a) {
        i64 v;
        is >> v;
        a = MLong(v);
        return is;
    }
    friend constexpr std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MLong &a) {
        return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator==(MLong lhs, MLong rhs) {
        return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator!=(MLong lhs, MLong rhs) {
        return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

template<>
i64 MLong<0LL>::Mod = i64(1E18) + 9;

template<int P>
struct MInt {
    int x;
    constexpr MInt() : x{} {}
    constexpr MInt(i64 x) : x{norm(x % getMod())} {}
    
    static int Mod;
    constexpr static int getMod() {
        if (P > 0) {
            return P;
        } else {
            return Mod;
        }
    }
    constexpr static void setMod(int Mod_) {
        Mod = Mod_;
    }
    constexpr int norm(int x) const {
        if (x < 0) {
            x += getMod();
        }
        if (x >= getMod()) {
            x -= getMod();
        }
        return x;
    }
    constexpr int val() const {
        return x;
    }
    explicit constexpr operator int() const {
        return x;
    }
    constexpr MInt operator-() const {
        MInt res;
        res.x = norm(getMod() - x);
        return res;
    }
    constexpr MInt inv() const {
        assert(x != 0);
        return power(*this, getMod() - 2);
    }
    constexpr MInt &operator*=(MInt rhs) & {
        x = 1LL * x * rhs.x % getMod();
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator+=(MInt rhs) & {
        x = norm(x + rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator-=(MInt rhs) & {
        x = norm(x - rhs.x);
        return *this;
    }
    constexpr MInt &operator/=(MInt rhs) & {
        return *this *= rhs.inv();
    }
    friend constexpr MInt operator*(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res *= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator+(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res += rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator-(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res -= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr MInt operator/(MInt lhs, MInt rhs) {
        MInt res = lhs;
        res /= rhs;
        return res;
    }
    friend constexpr std::istream &operator>>(std::istream &is, MInt &a) {
        i64 v;
        is >> v;
        a = MInt(v);
        return is;
    }
    friend constexpr std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const MInt &a) {
        return os << a.val();
    }
    friend constexpr bool operator==(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() == rhs.val();
    }
    friend constexpr bool operator!=(MInt lhs, MInt rhs) {
        return lhs.val() != rhs.val();
    }
};

template<>
int MInt<0>::Mod = 998244353;

template<int V, int P>
constexpr MInt<P> CInv = MInt<P>(V).inv();

constexpr int P = 1000000007;
using Z = MInt<P>;

struct Comb {
    int n;
    std::vector<Z> _fac;
    std::vector<Z> _invfac;
    std::vector<Z> _inv;
    
    Comb() : n{0}, _fac{1}, _invfac{1}, _inv{0} {}
    Comb(int n) : Comb() {
        init(n);
    }
    
    void init(int m) {
        m = std::min(m, Z::getMod() - 1);
        if (m <= n) return;
        _fac.resize(m + 1);
        _invfac.resize(m + 1);
        _inv.resize(m + 1);
        
        for (int i = n + 1; i <= m; i++) {
            _fac[i] = _fac[i - 1] * i;
        }
        _invfac[m] = _fac[m].inv();
        for (int i = m; i > n; i--) {
            _invfac[i - 1] = _invfac[i] * i;
            _inv[i] = _invfac[i] * _fac[i - 1];
        }
        n = m;
    }
    
    Z fac(int m) {
        if (m > n) init(2 * m);
        return _fac[m];
    }
    Z invfac(int m) {
        if (m > n) init(2 * m);
        return _invfac[m];
    }
    Z inv(int m) {
        if (m > n) init(2 * m);
        return _inv[m];
    }
    Z binom(int n, int m) {
        if (n < m || m < 0) return 0;
        return fac(n) * invfac(m) * invfac(n - m);
    }
} comb;


int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);

	int n; std::cin >> n;
	std::vector<int> a(n);

	int g = 0; 
	bool ok = 0;
	for(int i = 0; i < n; i++) 
	{
		std::cin >> a[i];
		g = std::gcd(a[i], g);
		if(a[i] == 1) ok = 1;
	}

	if(ok == 1)
	{
		std::cout << 1 << "\n";
		return 0;
	}

	if(g != 1)
	{
		std::cout << -1 << "\n";
		return 0;
	}

	int m = *max_element(a.begin(), a.end());
	std::vector<int> vis(m + 1), mu(m + 1);
	std::vector<int> p;

	vis[1] = mu[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= m; i++)
	{
		if(!vis[i]) p.emplace_back(i), vis[i] = 1, mu[i] = -1;
		for(auto j : p)
		{
			if(i * j > m) break;
			vis[i * j] = 1;
			if(i % j == 0)
			{
				mu[i * j] = 0;
				break;
			}
			else mu[i * j] = -mu[i];
		}
	}

	std::vector<int> cnt(m + 1);	
	for(auto i : a) cnt[i]++;
	for(int i = 1; i <= m; i++)
		for(int j = i * 2; j <= m; j += i)
			cnt[i] += cnt[j];

	auto check = [&](int k) -> bool
	{
		Z ans = 0;
		for(int i = 1; i <= m; i++)
			ans += comb.binom(cnt[i], k) * mu[i];
		
		return ans != 0;
	};

	int l = 2, r = n;
	while(l < r)
	{
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(check(mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}

	std::cout << l << "\n";

	return 0;
}