CF360D

题目

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题目大意

有 $n$ 个数 $a_1…a_n$ 和 $m$ 个数 $b_1…b_m$ 和一个质数 $p$。第 $i$ 个集合是这样生成的：一开始只有一个 1。每次找集合内的一个元素 $c$ 和一个下标 $j\ (\ j∈[1,m])$，若 $c×a_i^{b_j}\ mod\ p$ 不在集合里，则加进去。求这 $n$ 个集合的并集大小。
$n \leq 10^4, m \leq 10^5, a_i<p≤10^9, b_i<10^9$

思路

我们考虑单独一个集合, 实际上这个集合的元素可以表示为 $a_i^{\sum_{j=1}^{m}k_jb_j}\ mod\ p$. 由欧拉定理, 我们知道 $a_i$ 的指数实际上是在膜 $p-1$ 意义下的. 如果我们记 $B=gcd(p-1,b_1,...b_m)$, 那么任意一个元素, 我们都可以表示成 $a_{i}^{kB}\ mod\ p$. 注意到对于任意集合, $B$ 都是一个定值, 于是我们可以预处理每一个 $a_{i}$ 为 $a_{i}^{B}$, 这样之后我们只需要合并所有的 $(a_{i}^{B})^k\ mod\ p$ 即可.

这个时候我们有一个很直接的思路, 对于每一个 $a_i^{B}$, 我们可以枚举它的所有指数, 用一个 $map$ 记录对应的值, 来统计答案. 对于指数枚举的范围, 我们可以求出 $a_i^{B}$ 膜 $p$ 的阶. 不幸的是, 这样会tle. 原因也很显然 : 如果每个 $a_i^B$ 都是 $p$ 的原根, 那么我们的复杂度就来到了 $O(np)$, 这显然是我们不能接受的. 我们要考虑优化.

可以发现由于底数不同导致我们在统计答案时需要额外枚举底数, 那么我们可不可以让底数统一呢, 答案是可以的. 我们可以利用 $p$ 的一个原根 $g$ 来表示每一个 $a_i^{B}$. 即设 $g^{A_i}=a_i^B$. 这样我们的问题就来到了统计 $g^{kA_i}\ mod\ p$ 的个数了. 同样的, 我们设 $A{^i}'=gcd(A^i,p-1)$. 那么我们的问题就变成了 : 有一个序列 $\{\ {A^i}'\}$, 求 $1-p-1$ 中至少是序列里面其中一个数的倍数的个数. 这个可以用容斥解决.

代码

#include <bits/stdc++.h>
using i64 = long long;

template <class T>
T power(T a, T b, T p)
{
    T res = 1;
    for( ; b; b /= 2, a = 1LL * a * a % p)
        if(b & 1) res = 1LL * res * a % p;

    return res;
}

void repeater()
{
    int n, m, p; std::cin >> n >> m >> p;
    std::vector<int> a(n);
    for(int i = 0; i < n; i++) std::cin >> a[i];

    int ph = p - 1, g = ph;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int x; std::cin >> x;
        g = std::gcd(g, x);
    }

    for(auto &i : a) i = power(i, g, p);

    std::vector<int> fac;
    for(int i = 1; i * i <= ph; i++)
    {
        if(ph % i) continue;
        fac.emplace_back(i);
        if(i * i != ph) fac.emplace_back(ph / i);
    }
    sort(fac.begin(), fac.end());

    std::vector<int> A(n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int t = 0;
        for(auto j : fac)
        {
            if(power(a[i], j, p) == 1)
            {
                t = j;
                break;
            }
        }
        if(a[i] == 1) t = 1;
        A[i] = ph / t;
    }

    sort(A.begin(), A.end());
    reverse(A.begin(), A.end());
    A.erase(std::unique(A.begin(), A.end()), A.end());

    int sz = fac.size();
    std::vector<int> vis(sz), f(sz);
    for(int i = 0; i < sz; i++)
    {
        for(auto j : A)
        {
            if(fac[i] % j == 0)
            {
                vis[i] = 1;
                break;
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for(int i = sz - 1; i >= 0; i--)
    {
        if(!vis[i]) continue;
        f[i] = ph / fac[i];
        for(int j = i + 1; j < sz; j++)
        {
            if(fac[j] % fac[i] == 0)
                f[i] -= f[j];
        }
        ans += f[i];
    }
    std::cout << ans << "\n";
}

int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);

    int t = 1; //std::cin >> t;
    while(t--) repeater();  

    return 0;
}