海涅定理

定理内容

设函数 f(x)f(x) 定义在 x0x_0 的某个空心邻域 O0(x0)O_0(x_0) 上，则 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A 成立的充要条件是：对于 O0(x0)O_0(x_0) 内的任意数列 {x0}\{x_0\}，xn≠x0(n=1,2,⋯ )x_n\not=x_0(n=1,2,\cdots)，当 lim⁡x→∞xn=x0\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x_n=x_0 时都有

lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=A

证明

必要性

设 lim⁡x→x0f(x)=A\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，则 ∀ε>0\forall\varepsilon>0，∃δ>0\exist \delta>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < |x-x_0| < \delta 时，有 0<∣f(x)−A∣<ε0 < |f(x)-A| < \varepsilon. 如果数列 {xn}\{x_n\} 满足 lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0，且每个 xn≠x0x_n\not=x_0，那么对于上述 δ\delta，就存在正整数 NN，使得当 n>Nn > N 时，有 0<∣xn−x0∣<δ0 < |x_n - x_0| < \delta . 因此有

0<∣f(xn)−A∣<ε    (n>N)0 < |f(x_n)-A| < \varepsilon\ \ \ \ (n>N)

于是就证明了

lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)= A

充分性

假设对于任意一个满足 lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x_0，且 xn≠x0x_n\not=x_0 的数列 {xn}\{x_n \} 都有 lim⁡n→∞f(xn)=A\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=A，但是 lim⁡x→x0f(x)≠A\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)\not= A.

那么存在一个 ε0\varepsilon_0，使得对于任意 δ>0\delta>0，都存在一个 x′x' 满足

0<∣x′−x0∣<δ    but    ∣f(x′)−A∣⩾ε00 < |x'-x_0| < \delta\ \ \ \ but\ \ \ \ |f(x')-A| \geqslant\varepsilon_0

我们不妨取 δ=δ,δ2,…,δn\delta=\delta,{\delta\over2},\dots,{\delta\over n}，从而得到 x1′,x2′,…,xn′x'_1,x'_2,\dots,x'_n，构成一个新数列 {xn}\{x_n \}. 其中有

0<∣xn′−x0∣<δn0 < |x'_n-x_0| < {\delta\over n}

那么

lim⁡n→∞xn′=x0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x'_n=x_0

由假设我们有

lim⁡n→∞f(xn′)=A\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x'_n)=A

即存在正整数 NN，当 n>Nn > N 时，有

0<∣f(xn′)−A∣<ε00 < |f(x'_n)-A| < \varepsilon_0

与对于所有 x′x'，使得 ∣f(x′)−A∣⩾ε0|f(x')-A| \geqslant\varepsilon_0 成立矛盾. 故原命题得证